函数教学论文

时间：2024-07-03 07:40:38 教学论文我要投稿

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函数教学论文

　　无论在学习或是工作中，大家都尝试过写论文吧，论文是描述学术研究成果进行学术交流的一种工具。相信很多朋友都对写论文感到非常苦恼吧，以下是小编为大家整理的函数教学论文，仅供参考，希望能够帮助到大家。

函数教学论文

函数教学论文1

　　摘要：在新的课程要求标准下对高中数学函数的教学有了新的要求，传统的教学与新课改下有些不相符的地方需要改进。就此做了简要的探究，提出了高中函数教学的新策略。

　　关键词：新课改；高中数学；函数教学

　　函数是数学教学中一特殊而又方便的工具。函数的教学是引导学生数学思想上从量变到质变的学习，是高中数学教学的核心内容，在解决任何的数学问题时几乎都要有量变的转化，形成一个系统的思维模式，然后广泛应用于数理化的学习之中，同时今后在解决生活中的问题时也需要具备数学建模的思想。因此，必须对新课改下高中数学的函数教学研究给予重视。

　　一、函数学习应该把握的几个概念

　　1.函数的解析式与定义域

　　一个函数的给出总是以解析式的形式出现，一些函数通过简单的变换可以成为一个解析式，是一个函数的直接的表现方式；定义域是函数中自变量的取值范围的规定。明确了解这两点对函数的学习来说具有重大的意义。例如，某高级中学打算建一个平面图形为矩形的游泳池，现有建筑材料长100米，求平面图形的面积S与矩形的长度x之间的函数解析式。假如我们设矩形的长度为x米，那么矩形的宽度就为（50-x）米，那么可得函数的解析式为：S=x（50-x）。在这样的解析过程中直接看起来并不存在问题，但是在数学函数学习严谨思想的要求下可以发现缺乏对函数定义域的确定，即自变量x的范围并没有确定，具体的长度必须大于0，而且小于50，这样就可以写出正确的函数表达式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。因此，在写出函数的表达式时是不能忽略自变量的取值范围的，这是对函数本身的隐性限制，否则不能得到满分。

　　2.函数单调性与定义域

　　函数的单调性与定义域有着密切的关系，虽然一次函数不是单调递增就是单调递减，但是在多次与高次函数中却并不是如此。如，二次函数的图像有最高点或者最低点，这个最高（低）点就把函数的单调性根据定义划分为单调递减与单调递增的两个区间，高次函数则是根据函数图像中的拐点按照定义域划分为多个单调区间。还有常见的对（指）数函数的单调性，它在定义域内是单调函数，但是值域是有限制的。

　　3.函数的奇偶性与不等式

　　定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件，所以判断函数的奇偶性要优先考虑函数的.定义域。奇偶函数在对称区间上的单调性为“奇同偶反”。如，y=x2就是标准的偶函数，y=x3就是标准的奇函数。

　　函数与不等式的结合紧密，如求函数的定义域，求函数的单调区间，求函数的最值、极值等，都要用到不等式（组）的解法，而不等式本身也是一个难点。在教学中，我们要让学生打好不等式的基础，这样才能为函数学习创造条件。

　　二、函数学习中的误区

　　1.数学情景的创设脱离实际

　　在情景的创设上应该从客观的实际出发，比如这样的一个函数问题：从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C。动植物死之后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原始量的一半，经过科学测定，若14C的原始量为1，则经过x年后的残余量为y=ax。（这里a为常数，0

　　2.忽视学生的客观水平

　　在函数的教学中也需要学生有一定的数学知识的积累，才能在教学中开展好各种工作。但是在教学中忽视了学生的客观数学水平，采取统一教学，而不是分层教学的模式，这就会导致部分学生对函数的学习产生畏惧，不能吸纳教师所讲授的知识。教学的最终目的是让学生学有所长，学以致用，而函数是数学应用中最广泛的工具。忽视分层教学就是对部分学生的放弃。

　　3.缺乏数学思想的教学

　　数学思想是学好数学的基础，教师在教学的过程中应该帮助学生培养数学思想，才能全面掌握数学中函数的应用知识。但是在高中数学的函数教学中缺乏对数学思想的培养，包括数学的严谨性思维，提醒学生在函数的学习中必须时刻注意函数定义域的确定、函数是否有意义、函数的大致图象，数形结合的思想是函数教学中重要的一个部分。在现在的教学中部分教师忽视了对学生这一思维的培养，而认为学生通过自己的想象和实践能够自主地形成，但是这只有一小部分学生能够做到。

　　三、做好高中数学函数教学的措施

　　现行教材和近年来的高考试题所涉及的知识内容多，蕴涵的思想方法极为丰富。对于学生而言，由于智力类型和能力水平有着明显的差异，接受程度自然表现出相当大的差别。这些差异伴随着时间的延续而增大。因此，高中数学学习中，两极分化的问题极为突出。要改变这种状况，因材施教是十分必要的。只有将因材施教真正落到实处，才能使不同的学生在数学上都能得到相应的发展。

　　高中数学函数的教学要在科学的教学方案与体系的指导下开展，在教学之前应该根据学生的具体情况制定出详细的教学方案，通过教研组的讨论之后再开展，使这样的一个教学体系能够着实提高学生的函数学习能力并适当地加以运用。

　　参考文献：

　　［1］张奠宙，宋乃庆。数学教育概论［M］。北京：高等教育出版社，20xx.

　　［2］范广静。立足分段函数直面高考类型［J］。中学教研：数学，20xx.

　　［3］胡银金。20xx年高考课标卷函数与导数考查方式探析［J］。福建中学数学，20xx.

函数教学论文2

　　二次函数是初中数学教学的难点与重点，如何提高二次函数教学效率，使学生熟练掌握二次函数相关题型的解答思路及方法，提高初中生综合数学能力是任课教师关注的重点。

　　一、提高二次函数认识

　　相对于初中数学其他知识而言，二次函数研究的是自变量与因变量之间的关系，比较抽象，学生理解难度大。研究发现，部分学生不注重二次函数基础概念的学习与理解，因此，解答二次函数相关题目时常常出现一些不该出现的问题。因此，初中数学教学实践中，教师应提高课堂教学效率，加深学生对二次函数基础知识的认识与理解，防止在解答二次函数题目时因考虑不全而得出错误结论。因此，二次函数教学实践中，教师应提高学生对二次函数的认识，提醒学生二次函数满足的条件是a≠0。但初中数学题型复杂多变，仅仅记住a≠0并不一定正确的解答出题目，正如文中的例子。这就要求学生在加深二次函数基础知识深刻理解的同时，应注重分析问题的全面性，不应因学习了二次函数，导致思维定势而得出错误结论。

　　二、注重经典题型讲解

　　初中阶段有关二次函数的经典题型很多，考查学生掌握二次函数知识较为全面，因此，教师应注重讲解一些经典题型，提高学生对二次函数的理解能力，使学生掌握二次函数精髓。另外，在讲解一些经典题型时应注重多角度地对经典题型进行分析，使学生理解经典题型经典在何处，即，题目考查了哪些知识，在此题目基础上还能进行怎么变换等，使学生触类旁通，做到讲解一道题，学生会一类题，如此才能达到事半功倍的教学效果。

　　1。二次函数图象平移

　　二次函数图象平移题目在初中各阶段测试中出现频率较高，部分学生因未掌握相关的解题技巧，导致无法正确解答出相关题目。另外，为方便解答该类型的题目，部分教师总结了二次函数平移的一些规律，如“上加下减，左加右减”，但在解答题目过程中，部分学生未充分理解导致解题出错。

　　2。二次函数图象与一次函数图象的交点

　　初中数学二次函数教学实践中，另一经典题型则是二次函数图象与一次函数图象交点问题。由于该类题型具有一定综合性，难度较大，学生得分率较低，因此，教师应将其当做教学的重点加以讲解，使学生彻底掌握该类题型的解法。

　　三、鼓励二次函数应用

　　二次函数与生活密切相关，因此，为提高学生利用二次函数解决实际问题的能力，教学实践中教师应注重二次函数知识应用的讲解，使学生学有所用，体会到学习二次函数的成就感，树立学习二次函数的`积极性与自信心。研究发现，部分学生在利用二次函数解决实际问题时，因无法建立实际问题与二次函数之间的关系，而无法解答出相关题目。为此，教学实践中，教师应多进行引导。

　　四、强调反思与总结

　　二次函数教学实践中，教师除注重相关题型的讲解外，还应强调学习反思与总结的重要性，一方面要求学生总结分析解答教师板书题目时出现的误区，给今后正确解答相关题型提供参考。例如，对二次函数进行讨论时应考虑a≠0的情况。在解答二次函数与一次函数综合性题目时不仅要对根的情况进行判别，而且还应根据题目要求进行求解，以确保所求参数范围的准确性。另一方面，教师应鼓励学生建立错题本，将出错的二次函数题目粘贴到错题本中，并在旁边注明出错的原因以及避免出错的方法。总之，初中二次函数教学实践中，教师应结合教学内容，灵活采取多种教学方法，帮助学生吃透二次函数基础知识，全面分析问题，尤其应注重一些隐含条件，不断提高解答二次函数题目的正确率，在提高教学效率的同时，使学生彻底掌握二次函数这一重要知识点。

函数教学论文3

　　摘要：互联网的出现，教育模式将有革命性的变化，基于网络环境下的教学已成为当今教学改革的核心，也更能够体现新课程标准精神。基于网络环境下的数学教学，有助于突破难点，真正实现分层教学和因材施教，从而提高教学效益。基于网络环境下的数学教学应处理好网络与学生的和谐关系，网络与教师的关系，教师与学生的关系。

　　关键词：教学数学网络新课标

　　传统的教育模式的教学方法、教学手段和教学评价已不能适应社会发展和人们学习的需要，基于网络环境下的学科教学和课堂评价的出现和普及，极大的丰富了教学改革的内容，充分有效的利用了教学资源，基于网络环境下的课堂教学与评价把文本、图像、图形、视频、音频、动画整合在一起，并通过互联网进行处理、控制传播、为学生提供了最理想的学习环境。

　　一、基于网络环境下的数学教学的含义

　　基于网络环境下的数学课堂教学，根据新课程标准的教学内容和教学目标需要，继承传统教学的合理成分，打破传统教学模式，全天候，不间断，因材施教的新型教学方法，教学与评价的信息在互联网上传输与反馈，极大的优化了教师群体，极大的丰富了学生的知识能力。

　　基于网络环境下的教学，可以共享教学资源，传递多媒体信息，适时反馈学生学习情况，刺激学生不同的感官，符合学生的学习认知规律，提高学生的学习兴趣，扩大了信息接受量，增大了课堂教学容量，同时又具有实时性，交互性，直观性的特点大大丰富了课堂教学模式，同时又满足了分层教学，因材施教，远程教学等社会需要，开创了教学的全新局面。

　　二、基于网络环境下数学教学与评价的'应用

　　基于网络环境下数学教学与评价有两大优点：

　　1、能做到图文并茂，再现迅速，情境创设，感染力强，能突破时空限制，特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能，发挥个体的最大潜能和创造力，加快学生对知识的理解、接受和记忆，也最能体现新课标的精神，也极大的满足社会全民教育，终身教育的要求。

　　2、同时全体老师又能通过网络共享教学资源，适时创新资源，使每一位老师都成为名师，使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的图像以及图像变换是重点内容，关于函数图像的传统画法，是通过师生列表，描点，连线而得，这些工作烦，静止孤立，间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大，时间又有限，而基于网络环境下的数学教学，就可以充分利用网络版课件，进行网上学习，从而化静为动，化繁为简，减轻教师的体力负担，使教师有更多的时间进行创新研究，同时让学生在交互的动态的网络环境下学习，函数值随自变量变化而同步变化以及对应运动的轨迹，从而得到完整精确的函数图像，通过交互学习让学生充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系，充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。若有疑问或好的见解，还可以通过网络进行远程的交流互动。通过多媒体，交互反馈，使学生深刻理解，不易遗忘。也培养了学生自我学习和终身学习的能力。网络环境下的数学教学，教师教得轻松，也有更多的时间进行个别指导，学生学得愉快。学得有趣，这样数学教学的效率也提高了。二、基于网络环境下数学教学突破教学难点

　　高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题，而这也正是高中数学的难点之一，基于网络环境下的教学可以化抽象为直观，有利于突破难点。

　　如“二次函数即：y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的探讨，学生对二次函数的开口，对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a,b,c,m,n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。

　　三、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化，即时化。

　　传统的教学形式是教师讲，学生听，这样教学方式课堂容量有限，反馈方式单调，信息交流少，所有的学生步伐相同不利于因材施教，不利于培养学生现代的终身的学习能力，同时不能解放教师，让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教，体现新课标的要求，

　　四、基于网络环境下数学教学应处理好的关系

　　(1)网络与学生的关系

　　和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学，应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新。在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握，达到网络与人的和谐统一。

　　(2)网络与教师的关系

　　基于网络环境下的学科教学优势空前，实践中发现，只有网络环境下的教学与教师灵活生动的讲解和创新的适时评价互相配合，相互促进，协调传递信息，最大限度地发挥网络和教师的优势。

　　(3)教师与学生的关系

　　教为主导，学为主体，这是在任何教学模式中都应遵循的原则，要体现学生的主体发展与教师的主导相互作用的关系。专题教学网站和网络教学资源库的形成，即将教师从繁杂的重复劳动中解放出来了，但教师的主导作用不是减弱了而是加强了，网络环境下的教学，对教师提出了更高的要求，教师必须挤出大量的时间学习Windows,Authorwear,3Dmax,Flash等方面的知识，还要学会搜索，筛选，创新信息的能力，甚至包括各种电教媒体的操作技能和技巧，只有这样，才能使自己在网络环境下的学科教学中获得自由，掌握主动，充分发挥网络教学的优势，提高我国的教育教学质量。

　　参考文献： 《关于多媒体计算机辅助数学教学的探讨》倪海燕《教育探索》143期

函数教学论文4

　　摘要：伴随着素质教育的不断发展和推进，在初中数学教学过程中，教师要结合学生的学习特征，建立更加多元化的教学模型，确保学生和教师之间能形成有效的教学互动，提升学生的综合水平。本文对互助式教学进行了简要分析，并集中阐释了互助式教学在初中数学二次函数教学中的教学设计，旨在为教师提供更加有价值的教学建议，以供参考。

　　关键词：互助式教学；初中数学；二次函数；数学

　　一互助式教学概述

　　互助式教学的理念是在合作教学基础上提出来的，在教学组织形式建构后，结合教学内容和实际教学需求，将合作教学的内在联系作为教学根本，确保教学模型能实现有效的创新。因此，互助式教学是在合作教学的体系建构后，融合教学效果评价，确保学生综合素质得以提升，且能最大限度促进学生建立互动学习空间的教学方法。在互助式教学过程中，教学目标更加注重团体意识，着重强调学生“整体与个体”之间推进的评价机制，确保能有效衡量教学方式方法，维护学习效果[1]。值得一提的是，在互助式教学模型中，教师不仅仅要激发团队中每一个学习者的主观能动性，也要引导学生之间建立互助合作的学习体系，确保个体间学习结构转化为集体性学习模型，最大限度地激发团队间的良性竞争，引导学生能建立自主互动学习要求。需要注意的是，互助式教学不仅仅是培养学生具备参与社会性活动能力的有效措施，也是激发学生思维发展水平的教学模型，需要教师和学生共同努力，将自主多向交流互助学习过程作为教学重点，从而全面建构完善的学习机制。

　　二互助式教学在初中数学二次函数教学中的教学设计

　　二次函数在初中是较为重要的数学知识点，尤其是在课堂教学过程中，教师不仅要介绍相关知识点，也要保证学生能有效内化相关知识，教师在实例中讲解的相关概念，并且引导学生结合公式对其基本应用有所了解，只有学生深入分析y是x的二次函数，才能结合公式对未知数之间的变化关系有所认知，从而在理解一次函数的.基础上对二次函数建立进一步的认知。

　　（一）教学目标。在教学目标设定之前，教师要对学生有较为全面的认知，结合初中学生的学习特征以及心理特征，充分发挥互助式教学的优势，在学生之间建立相应的学习团体[2]。对于初中数学二次函数教学而言，教学目标的设计十分关键，教师要从以下三方面设置教学目标：第一，知识技能目标。要对新知识和旧知识有所认知，确保学生能了解二次函数的概念，并且能利用描点法有效绘画出二次函数的图像，在初步理解的基础上有效分析抛物线等概念。第二，能力目标。教师要引导学生建立互助合作的应用能力，并且引导学生进一步提高自身分析问题的水平，从而有效解决相关数学问题。第三，情感目标，教师要引导并激发学生的学习热情，从而提升学生的学习积极性，在营造良好学习空间的基础上，确保学生能和教师之间建立较好的互动和学习状态，最终完成教师设定的教学目标。教师要将提升学生个体互助意识和水平作为教学重点，逐步引导学生利用群体力量更好地内化二次函数的概念和图像。

　　（二）教学内容。在初中二次函数教学过程中，教师利用互助式教学就是为了有效提高学生的学习自主互动能力，确保学生能完全内化并且合理化运用二次函数的相关知识进行解题，因此，教师要对前期知识点进行铺垫，确保互助式教学能为学生自主解决实际问题提供保障。在互助式教学结构中，要对教学内容的设置结构予以全面分析和多元化整合。首先，教师要结合互助式教学目标确定教学内容的重点以及基本流程，学生只有享受学习过程才能提高学习效果。其次，教师要引导学生掌握更多的知识能力，提升学生解决问题的速度，避免出现教学活动难以得到学生参与的问题。结合学生的认知水平确定教学内容的呈现方式和先后顺序，能更加全面的提升学生的学习水平，实现互助式教学升级。最后，教师要结合教学活动的可操作性确定教学内容的呈现方式和呈现顺序，学习内容要循序渐进，从而保证学生的实际操作能力有效优化[3]。例如，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），开口向下，若经过二次函数的三条直线分别为M=a+b-c、N=4a+2b+c、P=2a-b，则要求出在三点中数值小于零的有几个点。结合对称轴的性质以及函数图像特性，就能判断具体各个点的实际情况，并且结合a，b，c的符号有效判定三者关系。求解函数大小的问题是初中二次函数中较为常见的题目，要将图像和二次函数性质结合在一起。这就需要教师结合学生的学习水平，引导不同学生建立针对性的自主互助学习模式，共同讨论，得出相应的结果，从而在提升学生责任意识、互助意识的同时，确保集体性学习过程能发挥其最大的学习优势[4]。

　　（三）教学资源。在课堂教学结构建立后，教师要积极应用不同的教学资源，确保学生和教师之间能形成良好的学习互动，随着互联网技术的不断发展和进步，教师可以应用的教学资源逐渐增多，在互助式教学模型中，教师可以给予学生大量的教学资源，引导学生利用小组讨论的模式对资源予以合理化的应用和分析。教师在互助式学习模型中，主要是激发学生的学习兴趣，确保互助式学习目标得以践行，有选择性地为学生提供相关链接，提高教学媒体资源的使用价值，真正优化初中数学二次函数教学的教学效果。除此之外，教师要结合学生的知识化水平和学习能力，结合学生家长建立家校互动的教学资源整合机制。只有充分利用相关学习资源对互助式教学给予更多的素材，才能保证学生综合学习水平得以提升[5]。教师要整合基本的教学资源，确保教学流程的完整性和有效性，提高教学效果，为后续教学理念和教学资源的进一步收集提供保障，引导学生提高数学成绩。

　　（四）教学流程。在实际教学过程中，教师要结合教学知识点对具体教学内容进行分析和整合。第一，预设研究性学习问题，教师要结合学生的基本特征和互助式学习的过程，设定相应的研究是学习问题，从而引导学生建立相应的学习小组。在知识点讲解过程中，也要保持循序渐进的教学结构，实现学生自主学习以及运用知识解题的能力。教师在研究性学习问题设定的过程中，要考量多方面因素，其中，教学目标、教学任务、学生基础素质、小组水平等都十分关键。教师只有保证教学任务衔接的完整，才能从根本上提高教学的连贯性。第二，教师要开展互助学习，在学习过程中，教师要将学生视为课堂的主体，发挥学生的主观能动性，在学习过程中给予相应的建议和指导，确保学生在讨论过程中进一步内化相关函数知识[6]。第三，要进行学习成果汇报，这是较为关键的环节，能有效展示出学生的学习效果，维护学生互助式学习水平的提升。只有检验学生思考问题以及解决问题的能力，才能保证自主研究和互助学习的完整性，并且训练学生教学实践应用技能的水平。第四，教师要对学生进行阶段性点评，着重判定学生在互助学习过程中的表现，并且引导学习小组建立更加严谨的思维方法，教师的教学评价要准时，避免学生产生不正确的思路。第五，教学效果检测，利用试卷形式或者是小组汇报的形式，对本节课的教学内容进行集中的检测，从而针对学生的学习效果给予相应的教学建议。

　　（五）教学评价。教师利用诊断性评价、自我反思评价等多种方式对学生的学习状态予以中肯的评价，保证学生能在明确学习目标和学习态度的基础上，进一步了解自身学习优点和弱项，从而建立自主提升的目标。教师的教学评价要正向引导，为学生树立信心的同时，激发学生的学习能动性[7]。

　　三结束语

　　总而言之，在初中二次函数教学过程中应用互助式学习，能提高学生的主观能动性，建立更加高效的数学课堂，确保学生的数学素质得以全面提高。

　　参考文献

　　[1]刘世慧.实行自主互助式教学，打造优质高效课堂[J].都市家教：上半月,20xx(09):230-230.

　　[3]罗安文.互助式教学应用于高职数学教学中的效果探讨[J].求知导刊,20xx,11(07):138-138.

　　[2]石平.基于互助式教学的高职数学教学设计研究[D].河北:河北大学,20xx.

　　[4]罗程宏.关于职前数学教师算法知识的调查与互助式教学设计初探[D].上海:华东师范大学,20xx.

　　[5]黄小雁.“学本课堂”背景下的自主互助数学教学模式的探讨[D].浙江:浙江师范大学,20xx.

　　[6]章月娥.构建互动数学课堂,提升数学教学效益[J].考试周刊,20xx,13(03):60-61.

　　[7]梁明武.浅谈互助式教学在数学教学中的应用[J].黑河教育,20xx(03):61-61.

函数教学论文5

　　摘要：函数的概念及相关内容是高中和职业类教材中非常重要的部分，许多学生认为这些内容比较抽象、难懂、图像多，方法灵活多样。以致部分学生对函数知识产生恐惧感。就教学过程中学生的反应和自己的反思，浅淡几点自己的看法。

　　关键词：函数；对应；映射；数形结合

　　1 要把握函数的实质

　　17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f ，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

　　迪里赫莱（P.G .Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

　　对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合 f С{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1) ∈f，(x，y2) ∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。

　　2 加强数形结合

　　数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x =1 x的实数根的'个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。

　　3 将映射概念下放

　　就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。

　　4 区分函数与方程

　　尽管函数和方程都是反映量与量之间的关系，可函数反映的是变量和变量之间的关系，强调的是一个变量随另一个变量的变化情况，从函数的角度来看，考虑的是x和y在各自取值范围内，彼此间怎样相互变化。而方程反映的是未知量和已知量之间的关系，等式F（x，y）=0是一个方程，只有在一定条件下才能确定为一个函数，从方程的角度来看，考虑的是x和y选取哪些数值时才能使等式成立，另一方面，如果变量x和y的函数关系可以用解析式y=f(x)表示，那就得到一个方程y-f(x)=0，它们是可以互相转化的，有时用方程知识去研究函数，也常用函数知识去研究方程。

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